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Marche unidimensionnelle symétrique

Considérons une expérience de pile ou face, répétée à chaque incrément de temps de manière indépendante. Associons au jet de la pièce à l'instant j la variable aléatoire $Y_j$ définie par

• $Y_j = 1$ si le j-ième jet donne pile,
• $Y_j = -1$ si le j-ième jet donne face.

Considérons la suite des variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{Z}$ définies par $X_t = \sum_{j=1}^t Y_j$

Le processus stochastique correspondant à la suite des $(X_t)$ décrit donc l'évolution, au cours du temps, de l'excès de résultats pile par rapport aux face.

Ce processus a aussi une interprétation connue sous le nom de marche aléatoire unidimensionnelle symétrique.

En effet, soit une particule se déplaçant sur l'axe des $\mathbb{Z}$ par incrément de 1, la particule étant à l'instant initial en 0. Imaginons qu'à chaque étape du temps on tire (avec équiprobabilité) si la particule se déplace vers la droite ou vers la gauche. La suite des $(X_t)$ représente une marche aléatoire de cette particule suivant ces lois.

On peut facilement obtenir la loi que suit $X_t$, puisque le nombre de déplacement à droite suit une loi binomiale (penser à la planche de Galton). Mais la connaissance de la loi de chaque $X_t$ n'est pas suffisante pour répondre à des questions sur la dynamique de l'ensemble des $(X_t)$, comme par exemple :

• Quelle est la probabilité de revenir au point de départ en un temps fini ?
• Quelle est l'espérance du nombre de déplacements nécessaire ?

Dans cet exemple, les $(X_t)$ ne sont pas indépendants, mais $X_{t+1}$ ne dépend que de $X_t$. Plus précisément : $P(X_{t+1} = j) = \frac{1}{2} P(X_{t} = j-1) + \frac{1}{2} P(X_{t} = j+1)$

Cette situation, très courante, correspond à la notion de chaîne de Markov.

On peut montrer que la probabilité de revenir en 0 en un temps fini est égale à 1. En fait, tous les états sont récurrents.

Généralisation à plusieurs dimensions

Polya a étudié la généralisation de ce modèle à plusieurs dimensions.

Considérons par exemple la grille 2-dimensionnelle $\mathbb{Z}^2$ correspondant aux points du plan à coordonnées entières.

A chaque étape, on évolue avec équiprobabilité d'un point à un autre de ses 4 voisins immédiats. Là aussi, tous les états sont récurrents. Avec une probabilité 1, on reviendra donc toujours une infinité de fois à l'origine.

Polya a montré, en 1921, qu'à partir de la dimension 3 ce n'est plus vrai. La probabilité de revenir à l'origine pour la marche 3-dimensionnelle symétrique est d'environ 0,34.

En quelque sorte, s'il est vrai que tous les chemins terrestres mènent à Rome, cela n'est plus vrai des chemins spatiaux...