Le but de ces TPs est de voir comment le calcul matriciel d'une part, et les nombres complexes d'autres part, permettent de réaliser des animations 2D.
Récupérer les deux fichiers suivants :
On leur donnera des extensions .py. Exécutez le petit programme geometrieComplexe.py, puis étudiez les deux programmes. On remarquera que point.py contient des méthodes permettant la translation et la rotation d'un point, en utilisant les définitions complexes de ces transformations. Le programme geometrieComplexe.py, quant à lui, gère l'interface.
Source : Le calcul, l'Imprévu, d'Ivar Ekeland.
Commencerez par vous documenter sur ce grand savant de l'antiquité, par exemple en consultant les sites suivants : ZoneScience, Observatoire de Paris, ChronoMath, www.astronomes.com, Site de la Nasa. On trouvera aussi une belle démonstration ici.
Réaliser le système solaire tel que l'imaginait Aristarque de Samos. On recherchera quelles étaient les planètes connues à l'époque. On pourra utiliser les distances actuelles entre le soleil et les planètes.
Le soleil est donc au centre du monde, les planètes décrivant autour de lui des orbites circulaires, parcourues d'un mouvement uniforme. C'est là une conception étonnamment moderne, exigeant notamment que la Terre soit ronde et tourne sur elle-même.
Les cercles constituent d'excellentes approximations des orbites képlériennes : de toutes les planètes connues à l'époque, Mars a l'orbite elliptique la plus applatie, et la différence entre le petit axe et le grand axe n'est que de 0,5%.
Il ne faut cependant pas placer le soleil au centre de l'orbite : l'écart, avec les foyers képlériens, atteint 9% du grand axe. Et, surtout, le mouvement n'est pas uniforme sur l'orbite : la planète va d'autant plus vite qu'elle est proche du soleil.
Le cumul de toutes ces erreurs aboutit à situer Mars, à certaines époques, à 15° de sa position réelle. Cet écart entre la théorie et l'expérience étant trop grand, d'autres constructions, ont été proposées, pour serrer de plus près les données d'observation. Tel est le cas du système de Ptolémée.
Le système solaire selon Ptolémée est pleinement défini à l'aide des trois points suivants :
Ces questions peuvent se révéler délicates à mettre en pratique, au moins pour les derniers items. Si vous êtes bloqués, passez au système de Kepler.
Avec ce système, les erreurs sont de l'ordre de quelques degrés. Ptolémée réussit donc, par ces artifices, à coller aux observations, tout en conservant la vision idéalisée d'un monde aux trajectoires circulaires uniformes.
Ce système était toujours enseigné du temps de Kepler, même si Copernic avait, peu de temps auparavant, remis l'héliocentrisme d'Aristarque au goût du jour.
Kepler a établi, entre 1605 et 1618, ses trois lois, qui sont :
$\frac{T^2}{a^3} = \frac{{T'}^2}{{a'}^3}
La première loi donne la forme des orbites. La deuxième détermine les vitesses le long de la trajectoire : la planète accélère quand elle se rapproche du Soleil, ralentit quand elle s'en éloigne. La troisième relie ces vitesses aux dimensions de l'orbite : plus elles sont éloignées, plus elles tournent lentement.
Si on adjoint aux trois lois de Kepler le fait que les orbites des neuf planètes sont situées pratiquement dans un même plan, on obtient une description complète des mouvements planétaires.
Réalisez le système solaire, tel que le décrit Kepler.
Selon Ivar Ekeland : « On peut dire sans exagération que c'est la plus grande découverte scientifique de tous les temps. Kepler apporte une réponse complète à des questions qui ont mobilisé depuis des siècles les meilleurs esprits de l'humanité. »
1400 ans ont donc été nécessaires pour que les ellipses képlériennes et la loi des aires chassent du ciel les mouvements circulaires uniformes.
Il faudra attendre encore un siècle, et la mécanique newtonienne, pour que tous les astronomes soient képlériens.