---

On montre ici diverses méthodes pratiques pour calculer, de manière approchée, des intégrales : les méthodes d'Euler, puis de Gauss, enfin de Romberg-Richardson.

Méthode d'Euler

En cours...

Méthode de Gauss

La théorie

Présentation de la méthode

On doit calculer $\int_a^b f(x) w(x) dx$ où :

• la fonction $w$ est un poids (i.e. fonction strictement positive, continue).
• $<f,g> \longmapsto f(x) g(x) w(x) dx$ est un produit scalaire sur l'espace des fonctions continues de [$a,b$] dans $\mathbb{R}$.

Il existe un unique polynôme de degré $n$, noté $P_n$, orthogonal à $\mathbb{R}_{n-1}[X]$. Il est à racines simples.

Valeur approchée de l'intégrale

On note encore :

• $(x_i)_{i \in [0, n]}$ les racines simples de $P_{n+1}$,
• $\displaystyle{\lambda_i = \int_0^b l_i(x) w(x) dx}$

où $l_i(x) = \frac(x-x_0) ... (x-x_{i-1}) (x-x_{i+1}) ... (x-x_n)(x_i-x_0) ... (x_i-x_{i-1}) (x_i-x_{i+1}) ... (x_i-x_n)$

est le polynôme interpolateur de Lagrange : $l_i(x_j) = \delta_{ij}$. Alors $\int_a^b f(x) w(x) dx \approx \sum_{i=0}^n \lambda_i f(x_i)$

Estimation de l'erreur

On a égalité pour tous les polynômes de degré inférieur ou égal à $2n+1$ : on parle de méthode d'ordre $2n+1$.

Pour $f \in$ C²ⁿ⁺², l'erreur est majorée par : $\left|\int_a^b f(x) w(x) dx - \sum_{i=0}^n \lambda_i f(x_i) \right| \leqslant \frac{||f^(2n+2)||_{\infty}}{(2n+2)!} ||P_{n+1}||^2$

où

• la norme infinie est celle du sup sur a,b$,
• la seconde norme, celle associée au produit scalaire précédent : $||P|| = \sqrt{<P,P>}$.

Cette approximation permet donc d'approcher une intégrale par une somme de $n$ termes, et de connaître l'erreur commise.

Différents types de quadrature

Le type de quadrature est déterminé par le domaine d'intégration et la fonction de pondération $w$.

Situations les plus fréquentes

domaine	w(x)	polynômes
[-1,1]	1	Legendre
]-1,1[	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	Tchebychev
$\mathbb{R}^+$	$e^{-x}$	Laguerre
$\mathbb{R}$	$e^{-x^2}$	Hermite

Valeurs de $l_i$ et de $x_i$

Pour ces situations communes, les valeurs de $\lambda_i$ et de $x_i$ sont tabulées (on ne les calcule pas, on les récupère dans des tableaux).

Par exemple, pour la méthode de Gauss-Legendre (polynômes de Legendre),

$n$	$P_n$	$x_0, ..., x_n$	$\lambda_0, ..., \lambda_n$
1	X	0	2
2	$X^2-\frac{1}{3}$	$\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$	1,1
3	$X^3-\frac{3}{5} X$	$-\sqrt{\frac{3}{5}}, 0, \sqrt{\frac{3}{5}}$	$\frac{5}{9}, \frac{8}{9}, \frac{5}{9}$

Et, pour Gauss-Tchebychev :

$\lambda_i = \frac{\pi}{n+1},~ x_i = cos \left( \frac{2i+1}{2n+2} \pi \right)$

Intégration sur un segment quelconque

Intégrer sur [$a,b$] ou sur [$0,1$], c'est pareil : il suffit de faire un changement de variables.

En effet, $\int_a^b f(t) dt = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f \left( \frac{b-a}{2} x + \frac{a+b}{2} \right) dx$

D'où, $\displaystyle{\int_a^b f(t) dt \approx \frac{b-a}{2} \sum_{i=0}^n \lambda_i f \left( \frac{b-a}{2} x_i + \frac{a+b}{2} \right)}$

En pratique

Préliminaires

Passons à la pratique : supposons que l'on souhaite calculer $\displaystyle{\int_{I} g(x) dx}$. On choisit l'une des méthodes de Gauss, en fonction de notre intervalle $I$, ce qui nous donne un poids $w$.

A ce stade, on connaît $g$ et $w$. On pose $f(x) = \frac{g(x)}{w(x)}$. Donc $\displaystyle{\int_{I} g(x) dx = \int_{I} f(x) w(x) dx} \approx \sum_{i=0}^n \lambda_i f(x_i)$ avec $\lambda_i$ et $x_i$ correspondant à la méthode choisie.

Cas de la méthode de Gauss-Tchebychev

Par exemple, supposons que l'on souhaite calculer $\displaystyle{\int_{]-1,1[} g(x) dx}$, où $g$ est donc connu. Cet intervalle nous fait penser à la méthode de Gauss-Tchebychev.

Posons alors $f(x) = \frac{g(x)}{w(x)} = g(x) \sqrt{1-x^2}$. Donc

$\displaystyle{\int_{]-1,1[} g(x) dx = \int_{]-1,1[} f(x) w(x) dx = \sum_{i=0}^n \lambda_i f(x_i)}$

Mais, pour Gauss-Tchebychev, $\lambda_i = \frac{\pi}{n+1},~ x_i = cos \left( \frac{2i+1}{2n+2} \pi \right)$. Donc

$\displaystyle{\int_{]-1,1[} g(x) dx} \approx \sum_{i=0}^n \frac{\pi}{n+1} f\left( cos \left( \frac{2i+1}{2n+2} \pi \right)\right) \approx \sum_{i=0}^n \frac{\pi}{n+1} g \left( cos \left( \frac{2i+1}{2n+2} \pi \right) \right) \sqrt{1-\left(\frac{2i+1}{2n+2}\pi\right)^2}$

Il nous reste à remplacer $g$ par son expression, et à calculer la somme de ces $n+1$ termes, pour avoir une bonne approximation de l'intégrale.

Deuxième exemple : approximation de $\pi$

On souhaite obtenir une approximation de $\pi$. Pour ce faire, on utilise le fait que

$\displaystyle{\int_{-1}^1 \frac{4}{1+x^2} dx = \left[ 4 \times Arctan(x) \right]_{-1}^1 = \pi}$

Calculons une valeur approchée de l'intégrale de $g(x) = \frac{4}{1+x^2}$ sur [$-1,1$] : cela nous donnera notre approximation de $\pi$. L'intervalle nous fait penser à une méthode de Gauss-Legendre : le poids vaut $w(x) = 1$, donc $f(x) = \frac{g(x)}{w(x)} = g(x)$. Si on prend trois points ($n=3$), alors

$\displaystyle{\int_{-1}^1 \frac{4}{1+x^2} dx} \approx \displaystyle{\sum_{i=0}^2 \lambda_i f(x_i)} = \frac{5}{9} f\left(- \sqrt{\frac{3}{5}} \right) + \frac{8}{9} f(0) + \frac{5}{9} f\left(\sqrt{\frac{3}{5}} \right) = \frac{57}{18}$

avec $f(x) = \frac{4}{1+x^2}$. D'où $\pi \approx \frac{57}{18} = 3,17$

On peut améliorer cette approximation en prenant plus de points, et avoir une estimation de l'erreur faite.

Les zéros des polynômes considérés

La méthode de Gauss consiste, en gros, à remplacer l'intégrale par une moyenne pondérée de la fonction en des points bien choisis.

Les points de Legendre (i.e. les zéros des polynômes de Legendre, les $(x_0, ..., x_n)$ de la méthode de Gauss-Legendre) sont équitablement répartis sur [-1,1]. Les points de Tchebychev, quant à eux, se concentrent aux bords de ]-1,1[

Ainsi, quand on a à faire l'intégrale d'une fonction continue sur [-1,1], il suffit de faire une moyenne pondérée de la fonction sur des points équirépartis sur [-1,1]

Quand, par contre, la fonction n'est définie que sur ]-1,1[, et ne se prolonge pas par continuité sur tout le segment, c'est parce qu'elle éclate aux bornes : il est donc normal de concentrer ses évaluations aux bornes !

Romberg-Richardson