On montre ici diverses méthodes pratiques pour calculer, de manière approchée, des intégrales : les méthodes d'Euler, puis de Gauss, enfin de Romberg-Richardson.
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On doit calculer $\int_a^b f(x) w(x) dx$ où :
Il existe un unique polynôme de degré $n$, noté $P_n$, orthogonal à $\mathbb{R}_{n-1}[X]$. Il est à racines simples.
On note encore :
où $l_i(x) = \frac(x-x_0) ... (x-x_{i-1}) (x-x_{i+1}) ... (x-x_n)(x_i-x_0) ... (x_i-x_{i-1}) (x_i-x_{i+1}) ... (x_i-x_n)$
est le polynôme interpolateur de Lagrange : $l_i(x_j) = \delta_{ij}$. Alors $\int_a^b f(x) w(x) dx \approx \sum_{i=0}^n \lambda_i f(x_i)$
On a égalité pour tous les polynômes de degré inférieur ou égal à $2n+1$ : on parle de méthode d'ordre $2n+1$.
Pour $f \in$ C2n+2, l'erreur est majorée par : $\left|\int_a^b f(x) w(x) dx - \sum_{i=0}^n \lambda_i f(x_i) \right| \leqslant \frac{||f^(2n+2)||_{\infty}}{(2n+2)!} ||P_{n+1}||^2$
où
Cette approximation permet donc d'approcher une intégrale par une somme de $n$ termes, et de connaître l'erreur commise.
Le type de quadrature est déterminé par le domaine d'intégration et la fonction de pondération $w$.
| domaine | w(x) | polynômes |
| [-1,1] | 1 | Legendre |
| ]-1,1[ | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | Tchebychev |
| $\mathbb{R}^+$ | $e^{-x}$ | Laguerre |
| $\mathbb{R}$ | $e^{-x^2}$ | Hermite |
Pour ces situations communes, les valeurs de $\lambda_i$ et de $x_i$ sont tabulées (on ne les calcule pas, on les récupère dans des tableaux).
Par exemple, pour la méthode de Gauss-Legendre (polynômes de Legendre),
| $n$ | $P_n$ | $x_0, ..., x_n$ | $\lambda_0, ..., \lambda_n$ |
| 1 | X | 0 | 2 |
| 2 | $X^2-\frac{1}{3}$ | $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ | 1,1 |
| 3 | $X^3-\frac{3}{5} X$ | $-\sqrt{\frac{3}{5}}, 0, \sqrt{\frac{3}{5}}$ | $\frac{5}{9}, \frac{8}{9}, \frac{5}{9}$ |
Et, pour Gauss-Tchebychev :
$\lambda_i = \frac{\pi}{n+1},~ x_i = cos \left( \frac{2i+1}{2n+2} \pi \right)$
Intégrer sur [$a,b$] ou sur [$0,1$], c'est pareil : il suffit de faire un changement de variables.
En effet, $\int_a^b f(t) dt = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f \left( \frac{b-a}{2} x + \frac{a+b}{2} \right) dx$
D'où, $\displaystyle{\int_a^b f(t) dt \approx \frac{b-a}{2} \sum_{i=0}^n \lambda_i f \left( \frac{b-a}{2} x_i + \frac{a+b}{2} \right)}$
Passons à la pratique : supposons que l'on souhaite calculer $\displaystyle{\int_{I} g(x) dx}$. On choisit l'une des méthodes de Gauss, en fonction de notre intervalle $I$, ce qui nous donne un poids $w$.
A ce stade, on connaît $g$ et $w$. On pose $f(x) = \frac{g(x)}{w(x)}$. Donc $\displaystyle{\int_{I} g(x) dx = \int_{I} f(x) w(x) dx} \approx \sum_{i=0}^n \lambda_i f(x_i)$ avec $\lambda_i$ et $x_i$ correspondant à la méthode choisie.
Par exemple, supposons que l'on souhaite calculer $\displaystyle{\int_{]-1,1[} g(x) dx}$, où $g$ est donc connu. Cet intervalle nous fait penser à la méthode de Gauss-Tchebychev.
Posons alors $f(x) = \frac{g(x)}{w(x)} = g(x) \sqrt{1-x^2}$. Donc
$\displaystyle{\int_{]-1,1[} g(x) dx = \int_{]-1,1[} f(x) w(x) dx = \sum_{i=0}^n \lambda_i f(x_i)}$
Mais, pour Gauss-Tchebychev, $\lambda_i = \frac{\pi}{n+1},~ x_i = cos \left( \frac{2i+1}{2n+2} \pi \right)$. Donc
$\displaystyle{\int_{]-1,1[} g(x) dx} \approx \sum_{i=0}^n \frac{\pi}{n+1} f\left( cos \left( \frac{2i+1}{2n+2} \pi \right)\right) \approx \sum_{i=0}^n \frac{\pi}{n+1} g \left( cos \left( \frac{2i+1}{2n+2} \pi \right) \right) \sqrt{1-\left(\frac{2i+1}{2n+2}\pi\right)^2}$
Il nous reste à remplacer $g$ par son expression, et à calculer la somme de ces $n+1$ termes, pour avoir une bonne approximation de l'intégrale.
On souhaite obtenir une approximation de $\pi$. Pour ce faire, on utilise le fait que
$\displaystyle{\int_{-1}^1 \frac{4}{1+x^2} dx = \left[ 4 \times Arctan(x) \right]_{-1}^1 = \pi}$
Calculons une valeur approchée de l'intégrale de $g(x) = \frac{4}{1+x^2}$ sur [$-1,1$] : cela nous donnera notre approximation de $\pi$. L'intervalle nous fait penser à une méthode de Gauss-Legendre : le poids vaut $w(x) = 1$, donc $f(x) = \frac{g(x)}{w(x)} = g(x)$. Si on prend trois points ($n=3$), alors
$\displaystyle{\int_{-1}^1 \frac{4}{1+x^2} dx} \approx \displaystyle{\sum_{i=0}^2 \lambda_i f(x_i)} = \frac{5}{9} f\left(- \sqrt{\frac{3}{5}} \right) + \frac{8}{9} f(0) + \frac{5}{9} f\left(\sqrt{\frac{3}{5}} \right) = \frac{57}{18}$
avec $f(x) = \frac{4}{1+x^2}$. D'où $\pi \approx \frac{57}{18} = 3,17$
On peut améliorer cette approximation en prenant plus de points, et avoir une estimation de l'erreur faite.
La méthode de Gauss consiste, en gros, à remplacer l'intégrale par une moyenne pondérée de la fonction en des points bien choisis.
Les points de Legendre (i.e. les zéros des polynômes de Legendre, les $(x_0, ..., x_n)$ de la méthode de Gauss-Legendre) sont équitablement répartis sur [-1,1]. Les points de Tchebychev, quant à eux, se concentrent aux bords de ]-1,1[
Ainsi, quand on a à faire l'intégrale d'une fonction continue sur [-1,1], il suffit de faire une moyenne pondérée de la fonction sur des points équirépartis sur [-1,1]
Quand, par contre, la fonction n'est définie que sur ]-1,1[, et ne se prolonge pas par continuité sur tout le segment, c'est parce qu'elle éclate aux bornes : il est donc normal de concentrer ses évaluations aux bornes !