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Primitives et intégrales avec Sympy

Primitives

Pour calculer une primitive, procéder ainsi :

  >>> from sympy import *
  >>> x, y = symbols('xy')
  >>> integrate(6*x**5, x)
  x**6

  >>> integrate(sin(x), x)
  -cos(x)

  >>> integrate(log(x), x)
  x*log(x) - x

  >>> integrate(2*x + sinh(x), x)
  x**2 + cosh(x)

  >>> integrate(exp(-x**2)*erf(x), x)
  (1/4)*pi**(1/2)*erf(x)**2

Intégrales

On peut calculer des intégrales avec sympy :

  >>> integrate(x**3, (x, -1, 1))
  0
  >>> integrate(sin(x), (x, 0, pi/2))
  1
  >>> integrate(cos(x), (x, -pi/2, pi/2))
  2

  >>> integrate(exp(-x), (x, 0, oo))
  1
  >>> integrate(log(x), (x, 0, 1))
  -1

Travaux pratiques

Exercice 1

Calculer une primitive des fonctions suivantes :

1. $1 + \frac{1}{tan^2 x}$.
2. $(x + 1)(x^2 + 2x − 1)^4$.
3. $\frac{cos(x)}{sin(x)}$.

Exercice 2

Calculez les intégrales suivantes :

1. $\displaystyle{\int_0^{+\pi} cos(t) dt}$
2. $\displaystyle{\int_1^{+\infty} ln(1+t) dt}$
3. $\displaystyle{\int_0^1 t^n e^t dt}$

Exercice 3

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $g(t)=\frac{\sin t}{t}$ et $f$ la fonction définie par $f(x)=\displaystyle{\int_{x}^{2x} g(t)\,\mathrm{d}t}$

1. Quelle est la limite $\ell$ de $g$ en zéro ?
2. On prolonge par continuité la fonction $g$ en zéro en posant $g(0)=\ell$. Que vaut $f(0)$ ?
3. Redéfinir la fonction $g$ avec un test if...else
4. On appelle $h$ la fonction dérivée de $f$. Donner $h(x)=f'(x)$ et déterminer $\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow 0}f'(x)}$.
5. Visualiser la courbe représentative de $f'$ à l'aide de Plot. On pourra consulter cette page.