En 1975, le mathématicien Mitchell Feigenbaum met en évidence, à l'aide d'une simple calculatrice de poche, que les itérations d'une banale fonction du second degré mènent parfois à des résultats bizarres, non sans d'ailleurs quelques régularités.
Il constata que des systèmes dynamiques non linéaires, mais simples, ont parfois des propriétés graphiques étrangement complexes.
Nous suivons ses pas...
On constate un comportement ordonné : une convergence vers 0.
Refaites le travail précédent en remplaçant la fonction d'itération $f(x) = x^2$ par $f(x) = cos(x)$, et remarquez à nouveau un comportement ordonné : une convergence vers 0,739085133...
Itérez cette fois-ci la fonction tangente, avec pour valeur initiale 0,54321 et une précision de 8 chiffres...On dirait qu'il y a convergence.
Refaire ce travail en augmentant la précision. Cette fois-ci, les itérées de la fonction tangente ont l'air de diverger vers $+\infty$, très lentement.
On s'aperçoit donc de l'importance de la manière d'observer un phénomène.
En effet, en l'absence d'une bibliothèque de grands nombres, on aurait pu croire en la convergence de nos itérées vers une petite valeur... alors qu'elle diverge vers $+\infty$.
En tout cas, le comportement reste ordonné, prévisible (pourvu qu'on l'observe bien) : croissance, de plus en plus, lente, vers $+\infty$.
Itérez d'autres fonctions, comme l'exponentielle, la racine carrée et la fonction inverse.
Dans le cas de la fonction inverse, observez que l'itération est périodique, de période 2 (se déduit sans observation).
Essayez d'autres fonctions encore. Vous devriez trouver l'un de ces trois comportements ordonné : convergence, divergence vers un infini, périodicité.
On peut penser que ce comportement raisonnable provient du fait qu'on itère des fonctions de référence.
Itérez alors la fonction $x^2-1$, qui n'est pas exactement une fonction de référence... on converge à nouveau vers un 2-cycle.
Un dernier essai : la fonction $2 x^2-1$, avec une valeur initiale toujours comprise entre 0 et 1...
La fonction $2x^2-1$ est simple, et semblable aux autres fonctions utilisées jusqu'à présent.
Pourtant, aucune régularité ne semble se manifester. Les résultats paraissent aléatoires. On ne rencontre plus l'ordre, présent jusqu'alors.
Comparez les évolutions de notre système pour les deux valeurs initiales suivantes : 0,54321 et 0,54322.
On rencontre, après une cinquantaine d'itérations, des comportements complètement différents, bien que les points soient proches.
Refaire le même travail avec des points plus proches, et une grande précision : on retrouve cette sensibilité aux conditions initiales. Des points aussi proches que l'on veut ont des comportements complètement différents.
Étudiez les comportements de la fonction $x \mapsto k x^2 -1$, avec $k$ allant de 1 à 2.
On rencontre, au fur et à mesure, l'apparition de cycles de plus en plus long (période 16 pour $k$=1,4, et l'apparition du chaos pour $k$=1,5.
Puis, plus on augmente $k$, plus le comportement est chaotique.
Comparez les comportements du système pour $k$=1,74 et $k$=1,75.
Pour 1,74 on a un chaos bien développé, tandis que pour 1,75 la suite s'installe dans une cycle de longueur 3.
Ordre et chaos sont ainsi intimement liés : du chaos naît la régularité (ordo ab chaos). Étudions ces itérations plus systématiquement.