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La bifurcation

Le précédent modèle, particulièrement simple, recèle beaucoup de la complexité des systèmes dynamiques.

On l'appelle bifurcation de Feigenbaum. Il s'agit plus exactement de la transformation de l'intervalle [-1;1], qui au point $x$ associe le point $1-\mu x^2$.

$\mu$ est un paramètre choisi entre 0 et 2.

C'est-à-dire $X_0 \in [-1;1], x_{n+1} = 1 - \mu X_n^2$.

Valeurs de mu comprises entre 0 et 0,75

Cas de convergence

On commence par regarder $\mu \in [0;0,75]$. Prenez $\mu = 0,5$, et vérifiez que pour $x_0 = 0$, on a convergence vers 0,732050807.

Avec le même $\mu$, partez de $x_0 = -0,5$ et assurez-vous qu'il y a convergence, et vers la même limite que précédemment.

Assurez-vous alors que, quelle que soit la valeur initiale $x_0$, l'évolution naturelle du système l'amène inéluctable au repos sur le point 0,732050807.

Conclusion du cas mu $\in [0 ; 0,75]$

Le point 0,732050807 est donc un équilibre stable du système, pour $\mu = 0,5$.

On peut montrer que, pour toutes valeurs $\mu$ comprises entre 0 et 0,75, le système possède un équilibre stable unique $\overline{x}$, dont la position exacte dépend continûment de $\mu$.

On peut être plus précis : $\overline{x}$ est la solution du système $\mu x^2 + x - 1 = 0$.

Travaux pratiques

• Calculez la valeur exacte de $\overline{x}$ en fonction de $\mu$.
• Vérifiez que cette valeur est bien en accord avec vos observations.

Valeurs de mu comprises entre 0,75 et 1,25

Étudions $\mu \in [0,75 ; 1,25]$. Prenez $\mu = 1$, et vérifiez qu'indépendamment de la valeur initiale $x_0$, on aboutit à une trajectoire 2-périodique, alternant entre les valeurs 0 et 1.

• Vérifiez cependant que le $\overline{x}$ précédent est un point d'équilibre : si $x_0 = \overline{x}$, alors $x_n = \overline{x}, \forall n$.
• Assurez-vous enfin que cet équilibre est instable : si l'on prend pour $x_0$ une valeur proche, mais différente de $\overline{x}$, alors on voit réapparaître le 2-cycle.

Valeurs de mu comprises entre 1,25 et 1,368

Cas de convergence

Cas où $\mu \in [1,25 ; 1,368]$ : prenez $\mu = 1,3$, et découvrez une trajectoire de période 4, vers laquelle tendent toutes les autres trajectoires.

Vérifiez qu'à nouveau le $\overline{x}$ précédent est un point d'équilibre instable, et qu'il existe aussi une trajectoire 2-périodique, instable, passant par les points

$\frac{1}{2 \mu} \left( 1+ \sqrt{4 \mu -3} \right) \textrm{ et } \frac{1}{2 \mu} \left( 1 - \sqrt{4 \mu -3} \right)$

Récapitulation

On a franchis deux catastrophes. En effet,

• Tant que $\mu$ reste dans [0; 0,75], le comportement qualitatif du système ne change pas : il présente un équilibre stable, variant continûment avec $\mu$, vers lequel convergent toutes les trajectoires.
• Tant que $\mu$ reste dans [0,75 ; 1,25], le comportement ne change pas : trajectoire stable de période 2, vers laquelle toutes les autres trajectoires convergent.

Mais le franchissement de la valeur $\mu = 0,75$ change le comportement qualitatif : l'équilibre stable est détruit, au profit d'une trajectoire 2-périodique.

De même, $\mu = 1,25$ est une valeur catastrophique, puisque la trajectoire 2-périodique perd sa stabilité, au profit d'une trajectoire 4-périodique.

Valeurs de mu comprises entre 1,368 et 1,401

Vers un doublement successif de période

On passe aux valeurs de $\mu$ comprises entre 1,368 et 1,401. Vérifiez que l'on a alors des doublements de période successifs. Plus précisément, assurez-vous de l'existence d'une suite infinie de valeurs catastrophiques $\mu_n$ :

• tendant vers 1,401 en croissant,
• telle que si $\mu \in [\mu_n ; \mu_{n+1}]$, le système possède une trajectoire stable, de période $2^{n+1}$, vers laquelle convergent toutes les autres.

Ainsi, le franchissement de ces valeurs catastrophiques dans le sens des $\mu$ croissants correspond à un doublement de la période.

La constante de Feigenbaum

On a, avec une excellente approximation :

$1,401 - \mu_n = \textrm{Constante} \times 4,6692...^{-n}$

Si l'on préfère :

$\frac{1,401 - \mu_n}{1,401 - \mu_{n+1}} = 4,6692...$

Le nombre 4,6692... est la constante de Feigenbaum, qui est maintenant connue avec une excellente précision.

Elle apparaît dans bien d'autres circonstances. Cette constante semble avoir une signification profonde, relative à des phénomènes de bifurcation en cascade.

Valeurs de mu comprises entre 1,401 et 2

Le chaos

La région $\mu \in [1,401 ; 2]$ est très mal connue ; on y cherche encore un fil conducteur.

Pour la plupart des valeurs de $\mu$, le système a un comportement chaotique : toutes les trajectoires que l'on peut trouver sont instables, et le système erre au hasard d'un bout de l'intervalle à l'autre.

Il existe toutefois, dans ce désert où règne le désordre, de petites oasis d'ordre et de stabilité, comme la région $1,75 < \mu < 1,7685$.

Visualisation du chaos

Prenez un $\mu$ et une valeur initiale de votre choix, dans cette région, et observez le chaos.

Plus précisément, assurez-vous de l'existence d'une suite infinie de valeurs catastrophiques $\mu_n$.

Etudiez le comportement du système pour $1,75 < \mu < 1,7685$.

Ordre et desordre

Nous avons découvert des phénomènes fondamentaux :

• Une imbrication de l'ordre et du chaos,
• Une transition progressive de l'un à l'autre par le phénomène du doublement des périodes,
• Des parcelles d'ordre récupérées dans le désordre établi.

Il semblerait que l'ordre et le chaos sont inséparables et toujours présents ensemble, que ce soit en mécanique céleste ou dans des jeux de nombres.