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Présentation de la loi hypergéométrique

La loi hypergéométrique est une loi discrète permettant de modéliser un tirage sans remise dans le cadre suivant : on considère deux ensembles finis $E_1$ et $E_2$ contenant respectivement $N_1$ et $N_2$ objets tous discernables. On extrait un échantillon de $n$ objets pris dans l'union $E_1 \cup E_2$ et on cherche à connaître la loi du nombre $k$ d'éléments qui appartiennent à $E_1$.

Propriétés

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi hypergéométrique $H(N_1, N_2, n)$ où $N_1$ et $N_2$ sont les représentant des cardinaux des ensembles $E_1$ et $E_2$. La probabilité d'avoir $k$ représentant de $E_1$ en $n$ tirages est calculée comme suit

• il y a ${N_1 \choose k}$ possibilités d'avoir $k$ représentants parmi $N_1$ éléments
• il y a ${N_2 \choose {n-k}}$ possibilités d'avoir $n-k$ représentants parmi $N_2$ éléments
• il y a au total ${{N_1+N_2} \choose n}$ tirage de $n$ éléments parmi $N_1+N_2$ éléments

Ainsi

$P(X = k) = \frac{{{N_1}\choose k} \times {{N_2} \choose {n-k}}}{{{N_1+N_2} \choose n}}$

L'espérance mathématique est $E(X) = \frac{n N_1}{N_1+N_2}$, et la variance

$V(X) = \frac{\quad n \times N_1 \times N_2 \times (N_1+N_2-n)\quad}{(N_1+N_2)^{2}\times [ N_1 + N_2 - 1 ]}$.

Application au loto de la FDJ.

La loi hypergéométrique permet d'obtenir la probabilité de gagner au loto.

Règlement

Ce qui suit est extrait du règlement officiel du loto de la Française des jeux.

Une tirage de loto est constitué de 5 numéros choisis parmi 49 et 1 numéro chance tiré parmi 10 numéros.

Le tableau suivant (donné par la FDJ) donne les rangs de gain en fonction du nombre de numéros trouvés.

Type	Nombre de numéros gagnants par grille de numéros	Nombre de numéro chance gagnants	1 chance de gagner sur	Rang(s) de gain associé(s)
0	5	1	19 068 840	1er rang
1	5	0	2 118 760	2ème rang
2	4	1	86 677	3ème rang + 6ème rang
3	4	0	9 631	3ème rang
4	3	1	2016	4ème rang + 6ème rang
5	3	0	224	4ème rang
6	2	1	144	5ème rang + 6ème rang
7	2	0	16	5ème rang
8	1	1	28	6ème rang
9	1	0	...	perdu
10	0	1	18	6ème rang
11	0	0	...	perdu

Au total : 1 chance de gagner sur 5.98

Mais aussi, par exemple, la constitution d'une commission mixte de 15 sénateurs et parlementaires, quand une loi est votée en urgence, etc.

Travaux pratiques

1. A l'aide d'un tableur calculer successivement les probabilités suivantes:
   1. probabilité d'avoir $k$ numéros pour un tirage de 5 parmi 49
   2. probabilité d'avoir $k$ numéros pour un tirage de 5 parmi 49 et de ne pas avoir le numéro chance
   3. nombre de chances de gagner avec $k$ numéros pour un tirage de 5 parmi 49 mais sans le numéro chance (on exprime ce nombre sous la forme "1 chance de gagner sur ...")
   4. probabilité d'avoir $k$ numéros pour un tirage de 5 parmi 49 et d'avoir le numéro chance
   5. nombre de chances de gagner avec $k$ numéros pour un tirage de 5 parmi 49 et le numéro chance
   6. nombre total de chance de gagner
2. Effectuer une simulation de tirages comme suit:
   • Développer une fonction qui choisit au hasard 1 grille de 5 numéros distincts parmi 49 et une fonction qui choisit un numéro chance
   • Effectuer un tirage officiel
   • Lancer 100000 de fois le tirage et classer le tirage selon son type (donné dans le tableau ci-dessus)
   • Afficher une synthèse de la simulation

Temps d'attente dans un tirage sans remise

Donnons une autre application de la loi hypergéométrique : elle ne sert pas qu'au loto.

Formalisation du temps d'attente d'un événement

Considérons une urne composée de $N_1$ boules blanches et $N_2$ boules noires, et posons $N = N_1 + N_2$. On tire une à une les boules de l'urne, sans remise, et on s'intéresse au temps d'attente $T$ de l'apparition de la première boule blanche.

L'événement $T$, qui peut prendre toutes les valeurs de 1 à $N_2+1$, coïncide avec la conjonction des deux événements :

• $A$ : "Les $k-1$ premières boules tirées sont noires",
• $B$ : "La $k$ boule tirée est blanche".

En d'autres termes, $P(T=k) = P(A \cap B) = P(A) P(B/A)$

Or,

• A suit une loi hypergéométrique : $P(A) = \frac{{{N_2} \choose {k-1}} {{N_1} \choose {0}}}{{{N} \choose {k-1}}}$.
• Si l'événement $A$ est réalisé, il reste dans l'urne $N-k+1$ boules, dont $N_1$ sont blanches. Il s'ensuit que $P(B/A) = \frac{N_1}{N-k+1}$.

Ce qui donne, au final, $P(T=k) = \frac{N_1}{k} \frac{{{N_2} \choose {k-1}}}{N \choose k}$

Travaux pratiques

1. Dans un tableur :
   1. programmez la formule permettant de déterminer le temps d'attente avant l'apparition d'une boule blanche, dans un tirage sans remise. Ce calcul sera effectué pour $N_1=10$ et $N_2=8$;
   2. tracer un histogramme représentant le temps en abscisse, et la probabilité en ordonnées
2. En python, réaliser un grand nombre de fois l'expérience suivante
   1. Effectuer iterrativement un tirage sans remise d'une boule parmi $N_1$ boules blanches 1 et $N_2$ boules rouges. S'arrêter dès que la boule est blanche
   2. Enregistrer le temps qu'il a fallu attendre avant d'avoir obtenu la première blanche
   3. Comparer avec les résultats théoriques de la partie précédente