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Présentation

La loi géométrique est une loi discrète représentant le nombre d'essais indépendants à mener d'une variable aléatoire de Bernoulli pour obtenir un premier succès.

Elle correspond par exemple à déterminer la probabilité que le premier pile apparaisse au $k$^ième lancer de la pièce, pour tout $k$.

Détermination de la loi

Pour obtenir le premier pile au $k$^ième lancer, il faut avoir obtenu $k-1$ fois face, puis un pile. Comme

• la probabilité d'obtenir une fois face est égale à $1-p$,
• la probabilité d'obtenir une fois pile est égale à $p$,
• les lancers sont supposés indépendants,

On en déduit que la probabilité pour que le premier succès arrive au $k$^ième lancer est de :$P(X = k) = p \times (1 - p)^{k-1}$

On constate que la suite des probabilités ainsi déterminée est géométrique...

Propriétés

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi géométrique $HG(p)$, alors

$P(X = k) = p (1-p)^{k-1}$

L'espérance mathématique est $E(X) = \frac{1}{p}$, et la variance $V(X) = \frac{1-p}{p^2}$.

Date butoir

La probabilité que le premier succès ait lieu au plus tard au temps $k$ s'obtient en ajoutant entre elles les probabilités qu'il itervienne au premier lancer, au deuxième, etc.

Si on note $B_k$ l'événement "le premier succès arrive au plus tard au temps $k$", on trouve : $P(B_k) = 1 - (1-p)^k$ qui s'obtient à partir d'une somme de termes en progression géométrique.

Les succès suivants

Une fois la loi géométrique connue, on peut s'attacher à la détermination de la loi du second succès (temps nécessaire à l'obtention de deux succès), du troisième succès, etc.

On construit alors les lois dites binomiales négatives.

Si $X_r$ désigne le temps d'attente du $r$^ième succès dans une succession d'épreuves à deux issues (succès ou échec), on a $P(X_r = k) = {{k-1} \choose {r-1}} p^r (1-p)^{k-r}$ pour tout $k \geqslant r$, avec $p$ désignant la probabilité de succès.

Pour tout $r \geqslant 1$, $X_r$ admet une espérance et une variance, qui sont égales à $E(X_r) = \frac{r}{p}, V(X_r) = \frac{r(1-p)}{p^2}$

Travaux pratiques

1. Quelle est la raison de la suite géométrique évoquée plus haut ?
2. Obtenir la probabilité que le premier pile intervienne au dixième lancer, et au millième.
3. Faire une fonction permettant d'obtenir cette probabilité, son espérance et sa variance. Vérifier ces formules par des simulations numériques.
4. Faire de même (programmation, et vérification expérimentale) pour les lois binomiales négatives.
5. Obtenir, à la main, la formule donnant la date-butoir, et la vérifier en effectuant des simulations numériques.
6. Supposons qu'un joueur s'acharne à jouer tant qu'il ne gagne pas. Quelle est la probabilité pour qu'il ne gagne jamais ? Cela ne peut-il pas se passer en théorie ?