Introduction aux lois de Poisson
Rappels
Soit $X$ une variable aléatoire discrète à valeur dans $\mathbb{N}$ telle que
$\forall k \in \mathbb{N}, P(X=k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}$
Alors on dit que $X$ suit une 'loi de Poisson' de paramètre $\lambda$ que l'on note $P(\lambda)$.
Cette loi correspond aux événements rares qui apparaissent avec une moyenne $\lambda$.
Les événements rares et loi de poisson : TP
(d'après http://serge.mehl.free.fr/exos/exo_poisson1.html)
Dans une usine, on a consigné dans un tableau le nombre d'accidents subis par le personnel au cours d'une journée de travail sur une période de 200 jours.
Ces accidents sont survenus indépendamment les uns des autres.
| Nombre d'accidents | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|
| Nombre de jours | 86 | 82 | 22 | 7 | 2 | 1 |
|---|
Dans un tableur
- Effectuer le calcul de la moyenne $\mu$.
- Calculer les probabilités d'avoir k accidents ($0 \le k \le 5$) dans une journée.
- On décide d'approximer cette série par une loi de Poisson de paramètre $\lambda=\mu$. Calculer les probabilités avec cette loi et comparer avec les valeurs de la question précédente.
Approximation de la loi binomiale par une loi de poisson
Qualité de l'approximation
Développez le programme python qui
- Affiche les 61 valeurs de probabilité d'une variable aléatoire discrète suivant une loi binomiale de paramètre B(60,0.08)
- Affiche les 61 valeurs de probabilité d'une variable aléatoire discrète suivant une loi de Poisson de paramètre P(4.8)
- Évalue les erreurs commises en approximant la loi binomiale donnée en 1 par la loi de poisson donnée en 2. Ces erreurs seront données en pourcentage par rapport au résultat exact.
- Autours de la moyenne, les erreurs sont-elles acceptables ?
Temps d'exécution
Comparer les temps d'exécution des programmes 1 et 2 ci-dessus. Quelle conclusion en tirez vous?