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La famille Bernoulli

Cette loi est ainsi nommée en l’honneur de la famille Bernoulli. C’est une famille de mathématiciens Suisses, à qui l’on doit les premiers travaux vraiment profonds en théorie des probabilités.

Ils furent par exemple les premiers à faire une étude sérieuse du jeu du Pile ou face, sous l’angle probabiliste.

La loi de Bernoulli

La loi de Bernoulli est la plus simple des lois de probabilité discrètes. On l’utilise pour matérialiser le lancer d’une pièce de monnaie.

Elle modélise les expériences aléatoires pour lesquelles il n’y a que deux issues possibles (gagner ou perdre).

Paramètre et notation

Ces deux issues n’ont pas forcément la même probabilité, mais l’on a obligatoirement : P(gagner)+P(perdre)=1.

À vrai dire, une loi de Bernoulli est pleinement définie à partir de la valeur de $p$=P(gagner)

On parle alors de loi de Bernoulli de paramètre $p$, que l’on note $b(p)$.

Exemples de situations modélisables par une telle loi

Toute expérience aléatoire n’ayant que deux issues possibles peut être modélisée par une loi de Bernoulli.

• Par exemple, l’expérience aléatoire : « tirer un 6 avec un dé » suit une loi de Bernoulli. Ici, P(gagner)= $\frac{1}{6}$ et P(perdre) = $\frac{5}{6}$.
• Un autre exemple : « tirer une boule jaune, dans une urne contenant trois boules jaunes et cinq noires ».

Propriétés de la loi de Bernoulli

Soit X une variable aléatoire suivant une loi $b(p)$ :

• $P(X = 0) = 1-p$,
• $P(X = 1) = p$.

Alors son espérance mathématique est $E(X) = p$, et sa variance $V (X) = p(1-p)$.

Utilisation pratique

Cette loi est rarement utilisée en tant que telle : les situations auxquelles on a affaire sont généralement plus compliquées.

C’est, par contre, une composante fondamentale de lois de probabilités plus complexes.

Elle intervient, par exemple, chez la loi binomiale, la loi géométrique, ou la loi uniforme sur tout un intervalle.

Travaux pratiques

1. Faire un programme qui demande le nombre de faces du dé, et les valeurs souhaitées, et qui calcule la probabilité associée. Gérez le lancer de dé avec une fonction random.
2. Faire de même avec une urne : on demande le nombre de couleurs, le nombre de boules de chaque couleur, et la couleur que l’on souhaite tirer.