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Présentation de la loi binomiale

On a affaire à une loi binomiale dès que l’on reproduit plusieurs fois une même expérience de Bernoulli.

C’est donc une loi discrète, représentant le nombre de succès à une suite de $n$ expériences aléatoires identiques et indépendantes, chaque succès se produisant avec la probabilité $p$.

On la note $B(n, p)$.

Exemples

• On lance cinq fois une pièce de monnaie, et l’on s’intéresse au nombre de piles obtenu.
• Dans le cas des urnes, cela correspond à une suite de tirages avec remise.

Propriétés

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi $B(n, p)$, alors la probabilité de gagner $k$ fois au bout de $n$ tentatives est (avec $p$ la probabilité de gagner en une tentative) :

$P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}$

où, dans ce qui précède, ${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = n(n-1)...(n-k+1)$ est le coefficient binomial, correspondant au nombre de manières qu'il y a de choisir $k$ éléments parmi $n$.

L'espérance mathématique est $E(X) = np$, et la variance $V(X) = np(1-p)$.

Démonstration

En effet, pour connaître la probabilité de gagner $k$ fois au bout de $n$ lancer :

• il faut réussir $k$ lancers,
• il faut en échouer $n-k$.

Reste alors à compter le nombre de combinaisons possibles de $k$ gains sur $n$ tentatives : ${n \choose k }$.

Quant à l’espérance, puisqu’elle est linéaire, on peut utiliser le fait que l’espérance pour une loi de Bernoulli $b(p)$ est $p$, et la multiplier par le nombre de tentatives $n$. Idem, en adaptant, pour la variance.

Travaux pratiques

1. Faire un programme qui demande les paramètres $n$ et $p$ d’une loi binomiale, et qui renvoie les $P(X = k)$, $E(X)$ et $V(X)$.
2. Simuler un tirage de boules avec remise :
   1. On demande à l'utilisateur de saisir un nombre $r$ de boules rouges, un nombre $b$ de boules blanches et un nombre $n$ de tirages à effectuer avec remise.
   2. Une expérience consiste en effectuer $n$ tirages avec remise et compter le nombre de boules rouges tirées
   3. On effectue un grand nombre de fois l'expérience (1000 fois par exemple) et on synthétise les résultats en affichant le nombre de fois où 0 boule rouge n'est sortie, 1 boule rouge est sortie, ..., $n$ boules rouges sont sorties.
   4. On compare les résultats avec ceux de la question 1.