Le but de ce TP est principalement de reprendre en main Python, autour d'amusements mathématiques reliés aux probabilités.
Les probabilités nous engagent à ne pas être impressionné outre mesure par des événements qui semblent improbables : ils ne le sont peut-être pas.
D’autres part, nous remarquons les coïncidences et ignorons les non-coïncidences.
Par exemple, la rencontre d’un couple d’amis au bout du monde n’est pas surprenante, si l’on songe au grand nombre de fois que l’on y a rencontré un couple.
Il y aura forcément quelques rencontres atypiques. Elles seules nous interpellent, on ignore toutes les autres.
Posons une petite devinette, pour illustrer notre propos...
Parmi les deux séries de nombres :
0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0
et
0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0
l’une a été obtenue en lançant une pièce de monnaie (0 pour pile, 1 pour face), et l’autre par un être humain, à qui l’on a demandé de simuler le lancer d’une pièce de monnaie.
Question : laquelle provient d’un cerveau humain ?
De cette petite devinette, on peut conclure que l’être humain ne sait pas simuler le hasard.
De ce fait, au prix d’un certain effort, on est capable de distinguer un comportement aléatoire d’un comportement qui le simule.
Cela intéresse, par exemple, les collecteurs d’impôts...
[Wikipedia :] Antoine Gombaud, chevalier de Méré, est un écrivain français né dans le Poitou en 1607, mort le 29 décembre 1684.
Il est connu pour ses essais sur L'honnête homme. Contemporain de Pascal, il eut avec lui une longue correspondance sur les calculs de probabilités et le problème de la partie interrompue. Il est célèbre par « le pari du chevalier de Méré » qui l'opposait à Pascal sur un sujet de probabilités à l'époque où celles-ci étaient balbutiantes.
Quitte à faire des paris, vaut-il mieux parier sur :
Ce problème est l’une des questions fondatrices de la théorie des probabilités. Les réponses se calculent aisément :
Le véritable début de la théorie des probabilités date de la correspondance entre Pierre de Fermat et Blaise Pascal en 1654.
Ceux-ci commencent à élaborer les bases du traitement mathématique des probabilités autour de l'étude de jeux de hasard proposés, entre autres, par le chevalier de Méré.
Bien qu'étant considérés comme les fondateurs du traitement des probabilités ils n'ont rien publié de leur travaux et il faudra attendre Huygens pour un premier ouvrage sur le sujet.
Répondre, à l'aide d’une simulation, aux questions du Chevalier de Méré, et retrouvez ainsi les valeurs annoncées.
Combien de personnes doit-on réunir dans une pièce pour avoir plus d’une chance sur deux pour que deux d’entre-elles fêtent leurs anniversaires le même jour ?
C’est-à-dire : même jour et même mois de naissance, pas forcément même année ?
Posée à des étudiants d’université, cette question obtint pour estimation moyenne 385 personnes...alors que la réponse correcte est 23.
On s’intéresse à l’événement complémentaire : « avoir des dates d’anniversaires toutes différentes ».
Dans une assemblée de deux individus, la probabilité de cet événement est de $\frac{365 \times 364}{365 \times 365}$ soit environ 0,9973.
En effet, le deuxième individus ne doit pas avoir la même date que le premier (donc, il a le choix entre 364 jours).
Dans une assemblée de trois individus, la probabilité de cet événement passe à $\frac{365 \times 364 \times 363}{365 \times 365 \times 365} \approx 0,9918$
Pour 22 individus, on trouve :
$\frac{365 \times 364 \times 363 \times ... \times 345 \times 344}{365 \times 365 \times 365 \times ... \times 365 \times 365}$
à peu près égal à 0,5243.
Pour 23 individus, on obtient finalement : 0,4927, soit plus d’une chance sur deux que deux personnes aient la même date d’anniversaire.
Dans une assemblée de 57 individus, il y a plus de 99% de chances pour que deux personnes partagent la même date d’anniversaire.
Si on prend les deux équipes et l’arbitre, il y a 23 joueurs sur un terrain de foot, donc...
Combien de personnes en plus que vous-même doivent être dans la pièce pour que l’événement « une personne au moins a votre date de naissance » soit plus probable que son contraire ?
C’est-à-dire pour qu’il y ait plus d’une chance sur deux qu’un autre individus fête son anniversaire le même jour que vous.
Réponse : 253. C’est une loi binomiale $B\left( n, \frac{364}{365} \right)$. Ce n’est pas le même problème que précédemment.
Un manipulateur glisse une pièce de monnaie sous un des trois godets qui vous font face.
Il mélange le tout, puis vous devez retrouver la pièce.
Vous sélectionnez un premier godet, sans le retourner. Après quoi, le manipulateur soulève un autre godet, qui ne contient pas la pièce.
Question : avez-vous intérêt à changer de choix, ou cela n’a pas d’importance ?
La réponse est qu’il faut changer de choix, pour doubler ses chances.
En effet...
Pas convaincu ? Testez vous-même cela, en vous rendant aux travaux pratiques et en consultant : http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_de_Monty_Hall
Il est demandé de programmer le jeu des godets en supposant soient choisis aléatoirement :
Le programme simulera un grand nombre d'expériences