Introduction

Par surface minimale, on entend une surface qui va minimiser un contour donné.

• Si l'on se place dans le plan, l'intuition nous fait penser que la surface minimale va épouser le contour donné.
• Dans l'espace en revanche, c'est plus complexe. C'est la question soulevée par le problème de Plateau : peut-on, pour tout contour donné, trouver une et une seule surface minimale ?

Nous verrons dans ce qui suit qu'il peut y avoir variabilité du nombre de solutions au problème de plateau, à travers un exemple : la caténoïde. Enfin, nous traiterons de la stabilité d'une solution (car il existe une solution instable au problème de Plateau).

Surfaces minimales

Définition et première approche

Une surface minimale est une surface qui minimise l'aire autour de chacun de ses points.

Ainsi, chaque point de cette surface possède un voisinage, qui est une surface d'aire minimale parmi les surfaces de même bord que ce voisinage.

Intuitivement, si les normales à la surface sont toutes divergentes (cas d'une sphère par exemple), en poussant dans la direction des normales, on pourra élargir son aire : on peut penser ici au cas d'un ballon qui se gonfle. La sphère n'est ainsi pas une surface minimale. Plus précisément...

Pour qu'une surface soit minimale, il faut que les normales soient convergentes dans certaines directions, et divergentes dans d'autres. En d'autres termes, il faut qu'au voisinage de chaque point la surface ressemble à un col.

Energie potentielle surfacique