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Introduction

Le modèle

On considère un système composé de n agents. Le temps est divisé en périodes et pendant chaque période de temps, chaque agent a une opinion qui est représentée par un nombre réel $x_t(i), i=1..n$.

Au début de chaque période, les agents modifient leur opinion en adoptant une opinion qui est la moyenne des opinions qui se trouvent à une distance inférieure ou égale à $\Delta>0$. Cela implique en particulier que, dans ce modèle, si i influence j, alors j influence i (pas forcément autant).

Ce modèle a été introduit par Krause en 1997.

Premières constatations

Krause a constaté par simulation numérique que les opinions convergent en un temps fini sur quelques opinions, appelées des agrégats, séparées par une distance supérieure à $\Delta$. On prendra $\Delta = 1$.

Ainsi, si les opinions sont initialement réparties sur un segment réel [0,L] de longueur entière L, on devrait obtenir jusqu'à L+1 opinions finales distinctes. Néanmoins, on s'aperçoit que le nombre d'opinions finales distinctes est bien plus petit.

Par exemple,

• si L=4, on n'a qu'une seule opinion finale,
• et pour L=10, on n'a finalement plus que 4 opinions distinctes,

et ce que les distributions initiales soit uniformément ou aléatoirement distribuées. De plus, certaines de ces opinions finales sont séparées par des distances bien plus grandes que 1.

Il semblerait que le nombre d'opinions finales tendrait, lorsque n devient très grand, vers L/2.

Convergence dans le cas d'un nombre fini d'agents

On peut formuler ce modèle sous forme matricielle $x(t+1) = A(t)x(t) (1)$ où $x(t)$ est de dimension n (le nombre d'agents).

On peut dores et déjà remarquer que :

• Les matrices $A(t)$ sont des matrices stochastiques (coefficients positifs, somme par ligne égale à 1).
• Puisque l'on remplace chaque valeur par une moyenne, min(x(t)) augmente, et max(x(t)) diminue.

Représentation avec des graphes

Graphe d'influence intantané

On associe à la relation (1) un graphe d'influence instantané, noté G(t) =(S,U(t)), composé :

• d'un ensemble S de n sommets, représentant les n agents,
• d'un ensemble U(t), composé des couples ordonnés (des arcs orientés) de sommets (i,j) tels que $a_{i,j}(t)>0$.

On aura donc un arc de i vers j si i ira chercher, entre autre, l'avis de j, pour se forger son opinion à l'instant suivant.

Graphe d'influence à partir d'un instant

On définit alors le graphe d'influence à partir de l'instant t par $G_u(t) = (S,\bigcup_{r \geqslant t} U(r))$ en considérant l'union des ensembles d'arcs orientés successifs à partir de l'instant t.

L'étude de ce dernier graphe permet d'obtenir l'évolution à terme des opinions...

Evolution des opinions

La distance entre deux opinions qui convergent vers deux agrégats différents devient supérieure à 1, alors que la distance entre deux opinions qui convergent vers le même agrégat devient inférieure à 1.

Le temps au bout duquel la distance entre toutes les opinions qui tendent vers le même agrégat devient inférieure à 1 est fini, sinon il n'y aurait pas convergence.

A l'instant suivant, toutes ces opinions deviennent la même, et il y a convergence en temps fini pour chaque agrégat.

Localisation des agrégats