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Présentation de la méthode

Sur chacun des intervalles [$x_i, x_{i+1}$], la fonction est approchée par la droite égale à $f(x_i)$ en $x_i$, et à $f(x_{i+1})$ en $x_{i+1}$.

Or, l'aire d'un trapèze est égale à

$A = h \times \frac{b+B}{2}$

où $b$ et $B$ désignent respectivement les longueurs de la petite et de la grande base, et $h$ est égale à la hauteur du trapèze

Assimiler l'intégrale de $f$ sur chaque sous-intervalle par l'aire du trapèze associé, conduit donc à l'approximation :

$\displaystyle{\int_a^b f(x) dx \approx \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}}$

Que l'on peut réécrire de la manière suivante, pour limiter le nombre d'appel à la fonction $f$ :

$\displaystyle{\int_a^b f(x) dx \approx \frac{b-a}{n}\left[\frac{f(a)+f(b)}{2} \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) \right]}$

Travaux pratiques

1. Vérifier que les deux formulations de l'approximation de l'intégrale sont équivalentes.

2. Faire une fonction qui reçoit :

• une fonction $f$,
• les bornes de l'intervalle [$a,b$],
• le nombre $n$ de trapèzes d'approximation,

et qui renvoie la valeur approchée de l'intégrale de $f$, par la méthode des trapèzes.

3. Utilisez cette fonction pour calculer une valeur approchée de l'intégrale

$\displaystyle{\int_0^1 \sqrt{x}-x^2 dx}$

4. Comparer votre valeur à celle retournée par sympy, et faire d'autres comparaisons sur des valeurs de votre choix.

5. Comparer les méthodes des rectangles et des trapèzes. Comment varie l'approximation quand $n$ grandit ? La convergence est-elle aussi rapide dans les deux cas ?