On considère un entier $n\geq 2$ et $p$ un nombre premier, par exemple $n=903119$ et $p=7$. Déterminer la valuation p-adique de $n$, c'est-à-dire le plus grand entier naturel $k$ tel que $p^k$ divise $n$, mais $p^{k+1}$ ne divise pas $n$.
La suite harmonique $(H_n)$ est définie par : $\forall\,n\geq 1,\quad H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} $ On admet que cette suite est divergente. Trouver le plus petit entier naturel $k$ tel que $H_k>10$.
Ecrire une fonction $\texttt{isprime}(n)$ qui teste si un entier donné $n$ est premier ou non.
Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $0<a< b$. On définit deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ par $ a_0=a \;,\; b_0=b \quad \mathrm{ et } \quad \forall\,n\in\mathbb N,\; a_{n+1}=\sqrt{a_n\,b_n\;} \;,\; b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} $
$\forall\,n\in\mathbb N,\; a_n<\ell(a,b)<b_n $
Construire une fonction $\texttt{agm}(a,b,e)$ qui retourne, en fonctions des paramètres $a,\;b$ et $e$, une valeur décimale approchée de la moyenne arithmético-géométrique $\ell(a,b)$ de $a$ et $b$ à $e$ près.
Calculer $\ell(1,5)$ à $10^{-15}$ près. Déterminer en combien de « coups » on obtient cette précision.