On suppose que les pages de documentation suivantes sont lues :
On découvre alors quelques suites célèbres, et on apprend à les étudier avec l’outil informatique.
La suite arithmétique est l'exemple le plus simple de suite numérique. Sa règle de fonctionnement est élémentaire :
Par exemple, pour la suite arithmétique de premier terme 3, et de raison 2, on trouve 3+2 = 5 pour deuxième terme, 5+2 = 7 pour troisième, 7+2 = 9 pour quatrième terme, etc.
On peut formaliser cela en disant que la suite arithmétique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de premier terme $K$ et de raison $r$ est la suite définie par
$\left\{ \begin{array}{lcl} u_0 & = & K \\ u_{n+1} & = & u_n + r \end{array}\right.$
On peut prouver un certain nombre de propriétés pour les suites arithmétiques, dont...
S = $\frac{1}{2} \times $(premier terme + dernier terme) $\times$ nombre de termes
On a affaire à une suite géométrique lorsque l’on passe d’un terme à son successeur en multipliant systématiquement par une constante $q$, appelée raison de la suite géométrique : $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = q u_n$
Comme pour les suites arithmétiques, on détermine complètement les suites géométriques en se fixant une raison et un terme (par exemple, le premier), et la monotonie de la suite dépend de la valeur de la raison .
On obtient le $n$ième terme à partir du $p$ième par la formule
$ \forall (n,p) \in \mathbb{N}^2, u_n = u_p q^{n-p}$
La somme $S$ de termes en progression géométrique, de raison différente de 1, est donnée par la formule
$S = \textrm{premier terme} \times \frac{1-\textrm{raison}^{\textrm{nombre de termes}}}{1-\textrm{raison}}$
Par exemple,
Ce sont les suites de la forme
$u_{n+1} = au_n+b$.
En faisant $a=1$, on retrouve les suites arithmétiques, et en posant $b=0$, on retrouve les suites géométriques.
Ce sont les suites de la forme
$u_{n+2} + a.u_{n+1} + b.u_n = 0$.
Par exemple,
Pour obtenir les expressions explicites ($u_n$ en fonction de $n$ exclusivement) de toutes les suites de cette forme, on résout l’équation du second degré $r^2 +a.r + b = 0$, et alors
$u_n = C_1 r_1^n + C_2 r_2^n$
$u_n = C_1 r_0^n + C_2 n r_0^n$
Notons, pour finir, que cette méthode se généralise à des récurrences à $n$ termes.
C’est une loi empirique, établie au XVIIIe siècle, qui relie la distance $r_n$ (en unités astronomiques) des planètes au soleil, et leur rang $n$ compté à partir du soleil :
$r_n = 0,4 + 0,3 \times 2^n$
Ainsi,
Cette loi s’est depuis avérée fausse.
Aucune planète ne correspondait à n = 3. Cela excita la curiosité des scientifiques et, le premier janvier 1801, l’astronome Giuseppe Piazzi découvrit l’astéroïde Cérès, qui correspond à n = 3.
C’était de bonne augure pour l’avenir des sciences dans ce siècle au commencement.
Son orbite l’entraîne, cependant, quelques semaines plus tard, derrière le soleil, laissant place au désespoir chez les scientifiques : les astronomes de l’époque ne possèdent pas d’outils permettant de retrouver l’astre grâce au bout de trajectoire enregistré avant sa disparition.
Près d’un an après l’avoir perdu, un allemand de Brunswick, agé de 24 ans, Gauss, annonça savoir où le retrouver...et il y était ! ce qui assura la célébrité de Gauss du jour au lendemain.
Cette réussite resta l’un des symboles de la puissance des mathématiques en tant qu’outils de prévision.
Gauss sera cependant celui qui, en attachant de l’importance à la preuve et non au résultat, saura déconnecter les mathématiques de leurs applications.
Lothar Collatz qui s'intéressait aux itérations dans les nombres entiers inventa le problème suivant : pour un nombre $N>0$ quelconque, montrer que la suite définie par
$\begin{array}{lcl} U_0 &= & N \\ U_{n+1} &= & \left \{ \begin{array}{ll} \frac{U_n}{2} & \textrm{ si } U_n \textrm{ est pair }\\ 3U_n + 1 & \textrm{ si } U_n \textrm{ est impair} \right. \end{array} \end{array}$
possède un indice $n$ tel que $U_n = 1$.
Helmut Hasse, un de ses collègues, diffusa le problème en Amérique à l'Université de Syracuse : le succès fut immédiat et la suite de Collatz prit alors le nom de suite de Syracuse. Cette conjecture mobilisa tant les mathématiciens durant les années 60, en pleine guerre froide, qu'une blague courut selon laquelle ce problème faisait partie d'un complot soviétique visant à ralentir la recherche américaine.
Par la suite, on définit les termes suivants
L'étude des suites précédentes ne doit pas poser problème, et vous devriez avoir réussi à faire tous les TPs jusqu'à présent. Ce qui suit, trois nouvelles suites célèbres (Fibonacci, Conway et Farey) ainsi qu'une introduction aux séries numériques, contient des travaux pratiques d'un niveau moins élémentaire. On attend de vous que vous preniez contact avec ces suites et séries, et que vous parveniez à résoudre deux ou trois problèmes posés.
Leonardo Fibonacci (Pise, v. 1170 - v. 1250), connu à l’époque sous le nom de Leonardo Pisano (Léonard de Pise), s’appelait en réalité Leonardo Guilielmi. Il fut peut-être le plus grand mathématicien du Moyen-Âge.
Son éducation s’est faite en grande partie en Afrique du Nord. Son père, Guilielmo Bonacci (d’où le nom de Fibonacci : fils de Bonacci), gérait les marchés de la république de Pise en Algérie, en Turquie et au Maroc.
A son époque, ce sont surtout les applications de l’arithmétique au calcul commercial qui ont fait connaître Fibonacci : calcul du profit des transactions, conversion entre monnaies...
En 1202, il en rapporta les chiffres arabes et la notation algébrique : c’est la date de publication de son Liber Abaci (le livre des calculs), traité sur les calculs et la comptabilité fondé sur le système décimal, à une époque où tout l’occident utilisait les chiffres romains et le calcul sur abaque.
Ce système décimal, provenant des indiens, mit plusieurs siècles à s’imposer : le public ne comprenait plus les calculs que faisaient les commerçants (en 1280, Florence interdit même l’usage des chiffres arabes par les banquiers).
On jugea que le 0 apportait la confusion et des difficultés, au point qu’ils appeleront ce système "cifra" (c’est-à-dire code secret).
On part d’un jeune couple de lapins.
On suppose :
Sous ces hypothèses, le nombre de couple de lapins à la $n$ génération est le $n^{ième}$ nombre de Fibonacci.
On la définit par la relation de récurrence :
$F_0 = F_1 = 1, F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$
D’où les premiers termes : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, etc.
On peut réécrire la définition de la suite de Fibonacci en utilisant des matrices :
$ \left( \begin{array}{c} F_{n+1} \\ F_{n+2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} F_{n} \\ F_{n+1} \end{array} \right)$
Il reste alors à calculer la puissance de matrice efficacement. Un prochain TP nous y aidera.
On peut aussi utiliser le fait que :
$F_{2n} = F_n^2 + F_{n-1}^2$
$F_{2n-1} = 2 F_n F_{n-1} - F_{n-1}^2$
ce qui permet de définir une méthode récursive (pour calculer $F_{10}$, il suffit de connaître $F_5$ et $F_4$, et on recommence avec ces derniers).
On peut résoudre $X^2 = X + 1$, qui admet pour racine $\phi$ et $\phi^{-1}$, le nombre d'or et son inverse , et alors
$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi^{n} - \phi^{-n} \right)$.
Cette formule porte le nom de Binet. On rappelle que $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
La suite de Conway a été inventée en 1987 par le mathématicien John Horton Conway.
Elle se définit ainsi :
| Terme de la suite | Explication |
|---|---|
| $x_0 = 1$ | |
| $x_1 = 11$ | $x_0$ a un 1 |
| $x_2 = 21$ | $x_1$ a deux 1 |
| $x_3 = 1211$ | $x_2$ a un 2 suivi d’un 1 |
| $x_4 = 111221$ | $x_3$ a un 1, un 2 et deux 1 |
Cette suite commence habituellement par 1, mais on peut aussi l’étudier pour d’autres valeurs initiales.
def conway(triplet):
occurences, entetes, nombre = triplet
if nombre == []:
return ''.join([str(occurences[k])+str(entetes[k])
for k in range(len(entetes))])
entetes.append(nombre[0])
occ = 0
for k in range(len(nombre)):
if nombre[occ] != nombre[0]:
break
occ += 1
occurences.append(occ)
nombre = nombre[occ:]
print occurences, entetes, nombre
return conway((occurences, entetes, nombre))
for k in range(5):
l = conway(L)
print l
L = [ [],[],[int(k) for k in list(l)] ]
Dans son courrier On a curious property of vulgar fractions, au Philosophical Magazine en 1816, le géologue britannique John Farey (1766-1826), les suites qui depuis Cauchy portent son nom, sont définies de la manière suivante...
La $n$ième suite s'obtient en écrivant toutes les fractions irréductibles dont le dénominateur est inférieur ou égal à $n$, en les rangeant par ordre croissant.
Les cinq premières suites de Farey sont :
Diverses propriétés sont vérifiées par les suites de Farey.
On peut citer, par exemple : chaque terme intermédiaire d'une telle suite est le terme médian de ses deux voisins (par exemple, dans $F_5$, $\frac{1}{3} = \frac{1+2}{4+5}$ est encadré par $\frac{1}{4}$ et $\frac{2}{5}$).
En 1938, le mathématicien américain Lester Ford publia un article dan l'American Mathematical Monthly qui donnait une visualisation des suites de Farey : ce sont les cercles de Ford.
Ils sont construit ainsi : chaque fraction irréductible $\frac{p}{q}$ est représentée par un disque de rayon $\frac{1}{2q^2}$, et dont le centre a pour coordonnées $\left(\frac{p}{q} ; \frac{1}{2q^2}\right)$.
On peut prouver que deux fractions adjacentes dans une suite de Farey sont représentés par deux disques tangents...
L'arbre de Stern-Brocot,
qui permet d'obtenir une fraction irréductible correspondant à n'importe quel rapport d'engrenages, est basé sur les suites de Farey.
Il s'obtient de la manière suivante... À partir de deux fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$, on intercale une nouvelle fraction : $\frac{a+b}{c+d}$.
Dès le $XVIII^e$ siècle, l'usage des séries se répand sans aucune précaution d'utilisation.
Les anecdotes concernant les travaux d'Euler sont fréquemment citées, comme son fameux $1-1+1-1+....= 1/2$ (pour cela, Euler posa a = 1-1+1-1+1-..., puis obtint a = 1-a, d'où le résultat).
Il faudra attendre le $XIX^e$ siècle pour que la rigueur s'installe.
Le véritable fondateur de la première théorie des séries est Augustin Cauchy.
Dans son cours d'analyse de l'Ecole Polytechnique publié en 1821, il fonde sa théorie sur le concept de limite, et appuie sa définition de la convergence d'une série de terme général $u_n$ sur ce dernier.
Il consacre tout un chapitre aux séries numériques.
Il donne la définition d'une série, s'empresse de préciser que pour que la série soit convergente : "Il est d'abord nécessaire que le terme général $u_n$ décroisse indéfiniment, tandis que n augmente, mais cette condition ne suffit pas, et il faut encore que, pour des valeurs croissantes de n, les différentes sommes $u_n+u_{n+1}, u_n+u_{n+1}+u_{n+2},...$ c'est à dire les sommes des quantités $u_n, u_{n+1}, u_{n+2},...$ prises, à partir de la première, en tel nombre que l'on voudra, finissent par obtenir constamment des valeurs numériques inférieures à toutes limite assignable. Réciproquement, lorsque ces diverses conditions sont remplies, la convergence de la série est assurée."
On reconnaît là le fameux critère de Cauchy.
Il donne ensuite des exemples et de nombreux critères devenus classiques, en particulier pour les séries à termes positifs et les séries entières.
